جستجو در   
امکانات

روشی برای بهینه سازی مسائل چند پاسخه آماری با استفاده از برنامه ریزی آرمانی فازی
پدیدآورنده : امیری، مقصود
بازدید : 1255
تاریخ درج : 1386/4/28
منبع :

 
دانشنامه پرتال علوم انسانی و اسلامی :: مدیریت :: روش سطح پاسخ( RSM ) :: روشی برای بهینه سازی مسائل چند پاسخه آماری با استفاده از برنامه ریزی آرمانی فازی

روشی برای بهینه سازی مسائل چند پاسخه آماری با استفاده از برنامه ریزی آرمانی فازی


چکیده

در این مقاله روشی برای بهینه سازی مسائل چند پاسخه آماری با استفاده از برنامه ریزی آرمانی فازی ارائه می شود.از آنجا که روش برنامه ریزی آرمانی نظرات تصمیم گیرنده( DM )را بصورت عینی در نظر می گیرد، از اهمیت ویژه ای برخوردار است.روش ارائه شده در مقایسه با روشهای موجود سرعت بیشتری داشته و هم چنین از زیربنای ریاضی قویتری برخوردار است.مقایسه بین روش پیشنهادی و روشهای موجود نشان می دهد که روش پیشنهادی دارای کارایی بالا می باشد.این امر، با یک مثال نشان داده شده است.

(*)-عضو هیئت علمی مدیریت صنعتی دانشگاه علامه طباطبایی

کلید واژه ها:روش سطح پاسخ( RSM )، تصمیم گیرنده( DM )، برنامه ریزی آرمانی فازی، مسائل چند پاسخه

1-مقدمه

یک مسئله رایج در صنایع تولیدی عبارت است از انتخاب یک مجموعه از شرایط ورودی یا مجموعه ای از مقادیربطوریکه کیفیت تولید مورد نظر()دارای شرایط مطلوب باشد.این مسئله منجر به بهینه سازی همزمان متغیرهای پاسخ می شود که هر یک بستگی به یک مجموعه از متغیرهای ورودی دارد.در این گونه از مسائل هدف عبارتست از اینکه مقادیرها در سطوحی انتخاب شوند که مجموعه ها بهینه گردند.

بکارگیری اطلاعات آماری در جهت بهینه سازی به اوایل قرن 19 بازمی گردد[1]. روشهای آماری متعددی برای بهبود فرآیندهای تولید مطرح گردیده است که یکی از مهمترین این روشها طرح ریزی آزمایش ها است.طرح ریزی آزمایش ها ابزاری مناسب جهت بررسی روابط علمی بین متغیرهای قابل کنترل و مشخصه های کیفی کالای مورد نظر است.ارتباط بین مشخصه های کیفی و متغیرهای قابل کنترل از روش سطح پاسخ( RSM )بدست می آید.از نظر Box و Hunter، RSM مجموعه ای از تکنیک های طرح ریزی آزمایشات و بهینه سازی است که توسط آمار دانان و صاحب نظران علوم مختلف جهت بهینه یابی مورد استفاده قرار می گیرند[2].

در RSM با بکارگیری طرحهای آزمایشی مناسب اطلاعات ساخت یافته ای بدست می آید که با برازش مدل مناسب بر داده های بدست آمده منحنیهای سطح پاسخ بدست می آید که در جهت بهبود فرآیند تولید از آن استفاده می شود. RSM دارای این مزیت است که بخشی از محاسبات آن را می توان بصورت موازی انجام داد.همچنین می توان میزان حساسیت پارامترهای تخمینی را بدست آورد[3].

از آنجا که کالاها معمولا بیش از یک مشخصه کیفی دارند بهبود همزمان این مشخصه های کیفی از اهمیت ویژه ای برخوردار است.مشکل معمول در بهینه سازی همزمان چند پاسخه آن است که هنگام بهینه نمودن یک مشخصه سایر مشخصه های

کیفی تحت تأثیر قرار می گیرند.به عبارت دیگر مجموعه ای از شرایط که برای یک خصوصیت بهینه است لزوما برای سایر مشخصه ها بهینه نیست.به همین دلیل طراحی روشی که بتواند با در نظر گرفتن جنبه های مختلف، حصول قابل قبولی را ارائه نماید از اهمیت ویژه ای برخوردار است [5].بهینه سازی چند پاسخه در چارچوب RSM تلاشی در این راستاست.

برای بهینه یابی چند پاسخه روشهای کلاسیک شبیه روش اهداف حد دار و در مواردی ترکیبی از روش اهداف حددار و روش لکسیکوگراف است. Myers و Carter برای اولین بار از این روش استفاده نمودند[8].آنها بهینه کردن جواب اصلی همراه با محدود کردن جوابهای دیگر را برای اولین بار پیشنهاد نمودند. Biles این روش را به بیش از دو جواب گسترش داد[9]. Myers، Khuri و Vining با ترکیب کردن روش Carter و Myers با روش تاگوپی این روش را گسترش دادند[10].آنها اثرات پراگندگی و پاسخ را به عنوان دو جواب جداگانه در بهینه یابی مورد استفاده قرار دادند.

روش تابع زیان توسط افرادی مانندمورد استفاده قرار گرفته است.مبنای این روش تابع زیان تاگوچی است و در آن با الهام از تابع زیان تاگوچی توابع زیان درجه دو که در برگیرنده مشهصه های کیفی و در مواردی واریانس مشخصه های کیفی است ارائه گردیده است.

تابع زیان Taguchi تابعی درجه دو از انحراف مشخصه کیفی مورد نظر از مقدار هدف بصورت رابطه(1)است.

(1)در رابطه(1)، K ضریب زیان و T مقدار مورد نظر از مشخصه کیفی است.- Artiles Leon از بسط تابع زیان تاگوچی تابع زیانی بصورت رابطه(2)را پیشنهاد نمود.

(2)همچنین Pignatello تابع زیانی بصورت رابطه(3)را پیشنهاد نمود.

(3)هر گاه در عمل هدف بدست آوردن کالا در سطح مشخصی از مشخصه های کیفی باشد.معمولااین روش، روش مناسبی است.اما اگر هدف حداکثر یا حداقل نمودن مشخصه های کیفی کالا باشد این روش کارایی بالایی ندارد.

روش تابع تصمیم گیری برای اولین بار توسط Haringtan مطرح و مورد استفاده قرار گرفت و سپس Mcmllan و Gatza از این روش استفاده نمودند[1].این روش بعدا توسط Derringer و Suich [18]گسترش یافت.ایده اساسی در این روش تبدیل یک مسئله چند هدفه به یک مسئله تک هدفه است.تابع تصمیم گیری بکار رفته در بهینه یابی چند پاسخه در RSM مقادیر پاسخ را به کمک توابع برازش شده به مقادیری بین صفر و یک تبدیل می نمایند.این مقادیر میزان رضایت هر کدام از پاسخها رانشان می دهند. Harington در حالت یک طرفه برای تابع تصمیم رابطه(4) و در حالت دو طرفه رابطه(5)را پیشنهاد نمود.

(4)(5)ایراد اساسی تابع تصمیم پیشنهادی Harington آنست که قابلیت گرفتن شکلهای مختلف را ندارد[9]به همین دلیل Derringer و Suich تابع توسعه یافته(6)و(7)را به ترتیب برای حالت یکطرفه و دو طرفه پیشنهاد نمودند[18].

(6)

(7)در روابط فوق مقدار مطلوب از مشخصه i ام و r و s پارامترهای تابع تصمیم می باشند. Derringer و Suich رابطه(8)را برای محاسبه تابع تصمیم پیشنهاد نمودند.

(8)آنچه Derringer و Suich تحت عنوان تابع تصمیم ارائه نموده اند در واقع فرمول p - l متر یک است و بیشتر ویژگی یک تابع ارزش را دارد. Zimmermann با استفاده از منطق فازی روشی را برای حل مسائل برنامه ریزی خطی چند هدفه ارائه داد[27]و سپس Cheng و همکاران روش Zimmermann را جهت بهینه سازی مسائل چند پاسخه آماری توسعه دادند[28].طولانی بودن حل مسئله از نقاط ضعف این روش می باشد.بخاطر اینکه در این روش برای حل مسئله m هدفه بایستی 1+ m 2 مسئله بطور جداگانه حل شود.

نور النساء و همکاران روشی جهت استخراج تابع تصمیم گیری و بکارگیری آن در بهینه سازی مسائل چند پاسخه ارائه دادند[29].در اینجا نیز طولانی بودن حل مسئله از نقاط ضعف این روش می باشد بخاطر اینکه با افزایش تعداد مشخصه های کیفی و افزایش اهداف مسئله حل مسئله طولانی خواهد شد.به همین دلیل طراحی یک الگوریتم با استفاده از برنامه ریزی آرمانی فازی برای بهینه سازی مسائل چند پاسخه آماری که بتواند ضعف های موجود را پوشش دهد از اهمیت ویژه ای برخوردار است.

{63G1-روش پیشنهادی برای حل مسائل چند پاسخه آماری

مسئله رایج در صنایع تولیدی عبارتست از انتخاب یک مجموعه از شرائط ورودی یا مجموعه ای از مقادیربطوری که کیفیت تولید مورد نظردارای شرایط مطلوب باشد.این مسئله منجر به بهینه سازی همزمان متغیرهای پاسخ می شود که هر یک بستگی به یک مجموعه از متغیرهای ورودی دارد. در این گونه مسائل هدف این است که مقادیرها در سطوحی انتخاب شوند که مجموعه ها بهینه گردند.بعبارتی مسئله متغیرهای پاسخ بصورت زیر مطرح می شود.

(9)که با تغییر متغیرمسئله برنامه ریزی چند هدفه بالا بصورت زیر تبدیل می شود.

تبصره 1.اگر مسئله برنامه ریزی چند هدفه را برای هر یک از توابع هدف بطور جداگانه حل کنیم()و این جوابها را در سایر توابع هدف قرار دهیم آنگاه برای هر تابع هدف دو مقدار حد بالا و حد پائین()بعنوان بهترین حالت و بدترین حالت بدست می آید.

اثبات:برای هر تابع هدف i ام بطور جداگانه مسئله زیر را حل می کنیم ()به عبارتی m مسئله بصورت زیر حل می کنیم:

جدول 1-دامنه تغییرات توابع هدف

:مقدار تابع هدف j ام به ازای مقادیر متغیرهای بهینه مسئله تابع هدف i ام.

:مقدار بهینه متغیردر تابع هدف i ام.

تبصره 2.برای هر تابع هدف یک تابع عضویت فازی وجود دارد.

اثبات::تولرانس تابع هدف :تابع عضویت فازی تابع هدف شکل 1-تابع عضویت تابع

(11)قضیه 1.مسئله متغیرهای پاسخ را بصورت زیر در نظر بگیرید.

(12)که در آن

:انحراف مثبت تابع :انحراف منفی تابع :در صدی که هر تابع هدف به حالت بهینه خودش رسیده است.

اثبات:

برای محدودیت های قسمت a فرض کنید:باشد

() حال داریم:

(14)حال محدودیت های(13)و(14)را درهم ترکیب می کنیم.در نهایت داریم:

قضیه تبعی 1 1.اگر میزان دسترسی به حالت بهینه هر یک از اهداف متفاوت باشد و اهداف از نظر تصمیم گیرنده دارای اهمیت یکسان نباشند آنگاه جواب مطلوب تصمیم گیرنده از حل مدل ریاضی زیر بدست می آید:

اثبات:نتیجه قضیه(1)است با فرض های زیر:

:میزان دسترسی به حالت بهینه تابع هدف

:وزن یا اهمیت تابع هدف از نظر تصمیم گیرنده

قضیه تبعی 2.اگر متغیرهای پاسخ دارای بهترین مقدار اسمی باشند و اهداف از نظر تصمیم گیرنده دارای اهمیت یکسان نباشند و میزان دسترسی به حالت بهینه هر یک از اهداف متفاوت باشد آنگاه جواب مطلوب تصمیم گیرنده از حل مدل ریاضی زیر بدست می آید:

(16)PP(1)- Corollary

که در آن:مقدار اسمی تابع هدف است.

اثبات:نتیجه قضیه(1)است با فرض های زیر:

شکل 2-تابع عضویت تابع هدف

(17)قضیه تبعی 3.اگر K متغیر پاسخ در زمینه هر چه بزرگتر، بهتر باشند و K - m متغیر پاسخ در زمینه مقدار اسمی بهتر باشند و اهداف از نظر تصمیم گیرنده دارای اهمیت یکسان نباشند آنگاه جواب مطلوب از نظر تصمیم گیرنده از حل مدل ریاضی زیر بدست می آید:

(18)اثبات:از قضیه تبعی 1 و 2 حاصل می شود.

الگوریتم:

قدم اول:مسئله متغیرهای پاسخ را بصورت زیر در نظر بگیرید:

قدم دوم:

مسئله متغیرهای پاسخ را بصورت زیر درآورد:

قدم سوم:

مسئله را برای هر یک از توابع هدف بطور جداگانه حل کنید و جوابها را بدست آورید.این جوابها را در سایر توابع هدف قرار دهید و در نتیجه برای هر تابع هدف 2 مقدار حد بالا و حد پائین()را بعنوان بهترین و بدترین حالت بدست آورید.سپس را بدست آورید.

قدم چهارم:

به کمک تصمیم گیرنده وزن اهداف را بدست آورید()ها و سپس مدل برنامه ریزی ریاضی را حل کنید:

{23-مثال عددی و مقایسه 3} طرح آزمایشی مورد استفاده، طرح مرکب مرکزی است که در آن اثر چهار متغیر قابل کنترل، در صد نشادر در فلاکس کوره()، ضخامت آلیاژ قلع و سرب روی لوله رادیاتور()و در صد قلع در آلیاژ روی لوله رادیاتور()بر دو مشخصه کیفیخوردگی()و چسبندگی()بررسی شده است.

منحنیهای سطح پاسخ برای وبصورت زیر می باشند:

(19)

(20)در نتیجه مسئله چند پاسخه مورد مطالعه بصورت زیر خواهد بود.

(21)ابتدا جداگانه دو مسئله زیر را حل می کنیم.

(22)(23)بعد از حل دو مسئله بالا خواهیم داشت:

جدول 2-دامنه تغییرات توابع هدف

حال داریم:

فرض کنید از نظر تصمیم گیرنده( DM )،باشد.

حل با روش پیشنهادی

(24)بعد از حل داریم:

حل سه مسئله بالا با نرم افزار LINGO صورت گرفته است.

مقایسه بین روش پیشنهادی و روش های موجود در این مثال صورت گرفته است. جدول 3 جواب بدست آمده از روش ارائه شده و روش های مختلف را نشان می دهد.

جدول 3-جواب بهینه بدست آمده از روش های مختلف

چنانچه مشاهده می شود از نظر تصمیم گیرنده( DM )روش ارائه شده بر روشهای موجود برتری دارد و جواب بهتر از سایر روش ها بدست آمده است.

نتیجه گیری

در این مقاله بهینه سازی مسائل چند پاسخه آماری با استفاده از برنامه ریزی آرمانی فازی ارائه شد.سرعت بیشتر روش ارائه شده نسبت به سایر روش ها از مزایای این روش است.چون در روش ارائه شده اگر m سطح پاسخ داشته باشیم کلا 1+ m مسئله حل می کنیم ولی در روش های موجود بایستی 1+ m 2 مسئله حل شود. همچنین مقایسه ای بین روش های موجود و ارائه شده انجام گرفت که از نظر تصمیم گیرنده روش ارائه شده بر روش های موجود برتری دارد.با توسعه این روش زمینه تحقیقاتی جدید فراهم گشته است که در حال حاضر مورد بررسی می باشند، از جمله:

1-ارائه جوابهای بهتر از نظر تصمیم گیرنده،

2-حل مسئله در کمترین زمان؛بعبارتی اگر m سطح پاسخ داشته باشیم برای بهینه سازی بتوانیم کمتر از 1+ m مسئله را حل کنیم.

{3منابع و مآخذ3}

منابع فارسی

1-نور النساء رسول و سلطان پناه هیرش(1383)رائه روشی جهت استخراج تابع تصمیم گیری و بکارگیری آن در بهینه سازی چند پاسخه در چارچوب روش سطح پاسخ( RSM )جله بین المللی علوم مهندسی، جلد پانزدهم، شماره یکم، صفحه 233-221 دانشگاه علم و صنعت ایران.

منابع لاتین

کليه حقوق برای پرتال علوم انسانی محفوظ است